x über y berechnen?
- Was bedeutet "x über y"?
- Formel zur Berechnung von "x über y"
- Wie berechnet man "x über y" Schritt für Schritt?
- Zusätzliche Hinweise zur Berechnung
- Beispielrechnung
Was bedeutet "x über y"?
Der Ausdruck "x über y" stammt aus der Kombinatorik und beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, y Elemente aus einer Menge von x Elementen auszuwählen, ohne dabei die Reihenfolge zu beachten. Mathematisch wird dies als Binomialkoeffizient bezeichnet und oft in der Form x choose y oder \(\binom{x}{y}\) geschrieben.
Formel zur Berechnung von "x über y"
Die Berechnung erfolgt mit der sogenannten Binomialformel:
\(\displaystyle \binom{x}{y} = \frac{x!}{y! \cdot (x - y)!}\)
Dabei steht das Ausrufezeichen ! für die Fakultät, also das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu dieser Zahl. Zum Beispiel ist 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Wie berechnet man "x über y" Schritt für Schritt?
Um "x über y" zu berechnen, gehen Sie wie folgt vor: Zuerst berechnen Sie die Fakultät von x, danach die Fakultät von y und schließlich die Fakultät von (x - y). Im Anschluss teilen Sie die Fakultät von x durch das Produkt der Fakultäten von y und (x - y). Das Ergebnis entspricht der Anzahl der Kombinationen.
Zusätzliche Hinweise zur Berechnung
Wichtig ist, dass x und y nicht-negativ sein sollten und y ≤ x gilt. Für große Werte von x und y kann die direkte Berechnung der Fakultäten schnell sehr groß werden, weshalb man oft Alternativmethoden oder Softwaretools nutzt, um mögliche Überläufe zu vermeiden oder die Berechnung zu optimieren.
Beispielrechnung
Wenn Sie beispielsweise berechnen möchten, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus 5 Elementen 2 auszuwählen, lautet die Berechnung:
\(\displaystyle \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10\)
Es gibt also 10 Kombinationen.