Wie kann man eine Übertragungsfunktion in MATLAB vereinfachen?

1. Grundlagen der Übertragungsfunktion in MATLAB
2. Warum Übertragungsfunktionen vereinfachen?
3. Methoden zur Vereinfachung in MATLAB
4. Praktisches Beispiel zur Vereinfachung
5. Zusammenfassung

Die Vereinfachung von Übertragungsfunktionen ist ein wichtiger Schritt in der Systemanalyse und Regelungstechnik. In MATLAB gibt es verschiedene Methoden und Funktionen, um Übertragungsfunktionen zu bearbeiten und zu vereinfachen. Diese Vereinfachung hilft dabei, das Verhalten des Systems besser zu verstehen und die Berechnungen effizienter durchzuführen.

Grundlagen der Übertragungsfunktion in MATLAB

Eine Übertragungsfunktion in MATLAB wird häufig mit der Funktion tf definiert, indem die Zähler- und Nennerpolynome angegeben werden. Das Ergebnis ist ein Objekt, das das dynamische Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems beschreibt. Allerdings können diese Übertragungsfunktionen im ursprünglichen Zustand komplex oder nicht vollständig gekürzt sein.

Warum Übertragungsfunktionen vereinfachen?

Oft enthalten Übertragungsfunktionen gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner, die sich kürzen lassen. Das Entfernen dieser gemeinsamen Faktoren führt zu einer einfacheren Darstellung und erleichtert beispielsweise die Berechnung von Ortskurven oder die Analyse der Stabilität. Eine vereinfachte Übertragungsfunktion ist übersichtlicher und in vielen Fällen numerisch stabiler bei Simulationen oder Regelungsentwürfen.

Methoden zur Vereinfachung in MATLAB

MATLAB bietet keine direkte Funktion wie "simplify" für Übertragungsfunktionen, ähnlich wie bei Symbolic Math. Um eine Übertragungsfunktion zu vereinfachen, kann man jedoch verschiedene Ansätze verfolgen. Ein bewährter Weg ist das Verwenden der Funktion minreal. Diese Funktion identifiziert und eliminiert sich gegenseitig aufhebende Pol-Nullstellen-Paare, also Pole und Nullstellen an der gleichen Stelle, was die Übertragungsfunktion deutlich vereinfacht.

Das Vorgehen ist folgendermaßen: Nachdem man die ursprüngliche Übertragungsfunktion definiert hat, wendet man minreal auf das Transferfunktion-Objekt an. MATLAB prüft dabei numerisch auf Pole und Nullstellen in unmittelbarer Nähe und kürzt sie aus. Auf diese Weise entstehen oft reduzierte Systeme mit weniger Termen und besserer Übersichtlichkeit.

Praktisches Beispiel zur Vereinfachung

Angenommen, man hat eine Übertragungsfunktion mit gemeinsamen Faktoren im Zähler und Nenner:

Diese Funktion beschreibt den Bruch (s² + 3s + 2) / (s² + 5s + 6), wobei sich einige Faktoren kürzen lassen. Durch Anwendung von minreal:

berechnet MATLAB automatisch die vereinfachte Übertragungsfunktion. Dadurch werden gemeinsame Nullstellen und Pole herausgekürzt, und die Übertragungsfunktion wird in eine kompaktere Form gebracht.

Zusammenfassung

Die Vereinfachung von Übertragungsfunktionen in MATLAB ist essenziell für eine effiziente Systemanalyse. Hauptsächlich wird dafür die Funktion minreal verwendet, welche sich gegenseitig aufhebende Pole und Nullstellen entfernt. Damit erhält man eine übersichtlichere und oft numerisch stabilere Darstellung der Übertragungsfunktion. So kann man die dynamischen Eigenschaften des Systems leichter interpretieren und weiterverarbeiten.