Wie kann man die Funktion 1 x 2 integrieren?
- Verständnis der Funktion 1 x 2
- Was bedeutet Integration?
- Unbestimmtes Integral der Funktion \( x^2 \)
- Bestimmtes Integral von \( x^2 \)
- Zusammenfassung
Verständnis der Funktion 1 x 2
Die Angabe 1 x 2 kann auf verschiedene Weise interpretiert werden, je nach Kontext. Im einfachsten Fall könnte es sich um das Produkt der Zahlen 1 und 2 handeln, was einfach 2 ergibt. Wenn jedoch mit 1 x 2 eine Funktion gemeint ist, etwa 1 mal x hoch 2, also mathematisch ausgedrückt \( f(x) = 1 \cdot x^2 = x^2 \), so spricht man von einer Funktion zweiter Potenz. Das Ziel ist es dann, diese Funktion zu integrieren, also die unbestimmte oder bestimmte Integration von \( x^2 \) durchzuführen.
Was bedeutet Integration?
Die Integration ist ein grundlegender Begriff aus der Infinitesimalrechnung und beschreibt die Umkehrung der Differentiation. Sie dient dazu, aus der Ableitung einer Funktion die ursprüngliche Funktion – oder allgemeiner die zum Integranden gehörende Stammfunktion – zu bestimmen. Die Integration kann dazu verwendet werden, Flächeninhalte unter Kurven zu berechnen oder verschiedenste Anwendungsprobleme zu lösen.
Unbestimmtes Integral der Funktion \( x^2 \)
Um die Funktion \( x^2 \) zu integrieren, wendet man die Potenzregel für Integrale an. Diese besagt, dass das Integral von \( x^n \) mit \( n \neq -1 \) gleich \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) ist, wobei \( C \) die Integrationskonstante darstellt.
Im Fall von \( x^2 \) ist \( n = 2 \), somit lautet das unbestimmte Integral:
\
Das Ergebnis zeigt, dass die Stammfunktion von \( x^2 \) die Funktion \( \frac{x^3}{3} + C \) ist.
Bestimmtes Integral von \( x^2 \)
Wenn man ein bestimmtes Integral berechnen möchte, benötigt man zwei Grenzen, etwa \( a \) und \( b \). Das bestimmte Integral von \( x^2 \) zwischen diesen Grenzen entspricht dem Flächeninhalt unter der Kurve \( y = x^2 \) von \( x = a \) bis \( x = b \).
Mathematisch formuliert:
\ _a^b = \frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3} \]
Dies liefert den genauen Flächenwert.
Zusammenfassung
Die Funktion 1 x 2 wird meist als \( x^2 \) interpretiert. Um diese Funktion zu integrieren, verwendet man die Potenzregel: Das unbestimmte Integral ist \( \frac{x^3}{3} + C \). Für bestimmte Integrale berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Grenzen, indem man den Wert der Stammfunktion an diesen Grenzen auswertet und voneinander subtrahiert.